Courant besuchte Schulen in Glatz (Niederschlesien, heute Kłodzko, Polen) und Breslau (Schlesien, heute Wrocław, Polen). Geschäftliche Schwierigkeiten der Familie, die 1904 ohne ihn nach Berlin umzog, zwangen Courant frühzeitig zu finanzieller Unabhängigkeit durch private Unterrichtstätigkeit. 1905 studierte er extern, seit 1906 regulär an der Universität Breslau Physik und Mathematik und wechselte nach einem Semester an der Universität Zürich an die Universität Göttingen. 1908 wurde Courant Privatassistent bei David Hilbert (1862–1943), bei dem er 1910 mit der Dissertation „Über die Anwendung des Dirichletschen Prinzipes auf die Probleme der konformen Abbildung“ zum Dr. phil. promoviert wurde. 1912 habilitierte er sich hier mit der Arbeit „Über die Methode des Dirichletschen Prinzips“ für Mathematik.

Während des Ersten Weltkriegs war Courant bis zu einer schweren Verwundung im September 1915 Infanterist an der Westfront, dann bis zum Kriegsende bei der Nachrichtenabteilung, wo er an Erdtelegrafie-Installationen zur Übertragung elektromagnetischer Signale für militärische Kommunikationszwecke über dem Erdboden beteiligt war. Nach Kriegsende kehrte Courant nach Göttingen zurück und wurde zum außerordentlichen Professor ernannt. Im Sommer 1920 nahm er einen Ruf auf den Lehrstuhl für Mathematik an der Universität Münster an, wurde aber nach einem Semester zurück nach Göttingen als Professor für Mathematik berufen. 1922 übernahm Courant die Leitung des Mathematischen Instituts, das er in der Tradition von Hilbert und Felix Klein (1849–1925) erfolgreich ausbaute. 1926 gelang ihm die Einwerbung von Mitteln der Rockefeller Foundation zum Neubau eines Institutsgebäudes, das 1929 eröffnet wurde.

Nach der nationalsozialistischen Machtübernahme wehrte sich Courant im April 1933 mit Verweis auf seinen Frontkämpferstatus gegen seine Zwangsbeurlaubung und erreichte, unterstützt durch zahlreiche Solidaritätsbekundungen, eine Umwandlung seiner Beurlaubung für die Übernahme einer Gastdozentur für das akademische Jahr 1933/34 an der Universität Cambridge (Großbritannien). Ein Angebot nach Istanbul schlug er aus, nahm aber zum Sommer 1934 das Angebot einer zweijährigen Gastdozentur an der New York University (NYU) an und wurde in Göttingen 1935 aufgrund des Reichsbürgergesetzes vorzeitig emeritiert. In New York City wurde Courant 1936 Professor of Mathematics, übernahm die Leitung des Graduate School‘s Departments of Mathematics an der NYU und baute in der Folge nach dem Vorbild des Göttinger Instituts in New York City ein mathematisches Forschungszentrum von Weltgeltung auf. 1940 erhielt er die US-amerikanische Staatsbürgerschaft.

Während des Zweiten Weltkriegs gelang Courant der Ausbau des mathematischen Programms an der NYU durch militärische Forschungsgelder der Navy sowie des Office of Scientific Research and Development. Die fortlaufende Einwerbung von Drittmitteln auch nach Kriegsende ermöglichte ihm den weiteren Ausbau des Institute of Mathematical Sciences. Mitte der 1950er Jahre etablierte die Atomic Energy Commision ein Rechenzentrum an der NYU mit einer UNIVAC I, dem ersten kommerziell erhältlichen Computer der Vereinigten Staaten. Auch nach seiner Emeritierung 1958 blieb Courant in Beratungsfunktionen aktiv und widmete sich verstärkt der Förderung des internationalen wissenschaftlichen Austausch zwischen Mathematikern. 1964 wurde das von ihm gegründete mathematische Institut nach ihm benannt.

Neben seiner wissenschaftsorganisatorischen Tätigkeit als Direktor weltberühmter mathematischer Institute in Göttingen und New York City trat Courant seit 1921 als Begründer und Herausgeber der mathematischen monografischen Reihe „Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften“ hervor. Auch veröffentlichte er eine Reihe einflussreicher Lehrbücher, u. a. das auf Vorlesungen von Hilbert beruhende, aber im Wesentlichen von ihm verfasste Standardwerk über die „Methoden der mathematischen Physik“, dessen erster Band 1924 erschien und eine wichtige Rolle bei der Etablierung der modernen Quantenmechanik Ende der 1920er Jahre spielte. Ein zweiter Band wurde 1937 publiziert, beide Bände wurden in verschiedene Sprachen übersetzt und vielfach wieder aufgelegt. 1929 erschien die von Courant herausgegebenen und durch viele Beiträge ergänzten Vorlesungen zur Funktionentheorie von Adolf Hurwitz (1859–1919). Courant brachte 1930/31 ein zweibändiges Lehrbuch zur klassischen Analysis heraus, das in englischer Übersetzung ebenfalls weite Verbreitung fand. 1941 publizierte er mit Herbert Robbins (1915–2001) das popularisierende Werk „What is Mathematics?“.

Das Thema seiner Doktorarbeit, das Dirichletsche Prinzip und die praktische Nutzung von Methoden der Variationsrechnung zur Lösung von Anfangs-, Rand- und Eigenwertproblemen partieller Differentialgleichungen verfolgte Courant in mehreren Aufsätzen weiter, die 1950 in die Monografie „Dirichlet’s Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces“ mündeten. 1918 bewies Courant, dass von allen homogenen Membranen gegebenen Umfangs und gegebener Spannung die kreisförmige den tiefsten Grundton besitzt. Als weitere Lösungsmethode zur Behandlung partieller Differentialgleichungen entwickelte Courant Approximation durch partielle Differenzengleichungen. In einem Vortrag von 1941 vor der American Mathematical Society antizipierte Courant Grundideen der späteren Methode der Finiten Elemente. Weitere Arbeiten widmeten sich dem Plateau-Problem und der Frage der Existenz, Eindeutigkeit und Charakterisierung von Minimalflächen mit Methoden der Variationsrechnung. Spätere Schriften zu hyperbolischen Differentialgleichungen mit Peter Lax (geb. 1926) beschäftigten sich mit der numerischen Lösung von Problemen von Schockwellen. Neben Lax gelten u a. Kurt Otto Friedrichs (1901–1982) und Hans Lewy (1904–1988) als Schüler Courants.