Braun wuchs in München-Schwabing und in den Sommermonaten auf Burg Wernfels (Mittelfranken) auf. Seit September 1896 besuchte er das Münchner Maximiliansgymnasium, das er nach Abschluss der 7. Klasse 1905 wegen ungenügender Leistungen verlassen musste. Im Oktober 1906 trat er in die Bildhauerklasse von Balthasar Schmitt (1858–1942) ein, dem Professor für christliche Kunst an der Akademie der Bildenden Künste in München. Über Brauns künstlerisches Schaffen ist nahezu nichts bekannt; bei der XI. Internationalen Kunstausstellung im Königlichen Glaspalast zu München von Juni bis Oktober 1913 war er in Saal 24 mit einer Holzbüste („Fräulein E. H.“) und zwei Bronzebüsten („Frau Ceco“, „L. van Affelen van Beremsford“) vertreten. Zu Beginn des Ersten Weltkriegs trat Braun als Freiwilliger in München in das Infanterie-Leibregiment ein. Im Rang eines Leutnants der Reserve wechselte er 1916 zu den Luftstreitkräften, war als Fluglehrer tätig und fand als Kampfflieger Verwendung an der Westfront. Bei einem Einsatz mit der Jagdstaffel 34 b kollidierte seine Fokker D.VII in der Nähe von Croix Fonsommé (Département Aisne, Frankreich) am 9. Oktober 1918 mit der eines Kameraden, wobei Braun starb.

Brauns sportliche Karriere begann 1902 mit seinem Eintritt in die Hockeymannschaft des Internationalen Sport-Klubs München (seit 1904 Münchner Sportclub, MSC); seit 1906 gehörte er zudem als Rechtsaußen dem Fußballteam des F. A. Bayern im Münchner SC (heute FC Bayern München) an. Seit 1904 betrieb Braun verstärkt Leichtathletik, trainierte v. a. Laufsportarten intensiv und machte mit seinen Leistungen auf der 400-Meter- und der 800-Meter-Strecke auf sich aufmerksam. Bei der Qualifikation für die Olympischen Spiele in London 1908 stellte er in Leipzig am 28. Mai 1908 über die 1500-Meter-Strecke einen deutschen Rekord auf. Bei den Spielen errang er die Bronzemedaille beim 800-Meter-Lauf mit Arthur Hoffmann (1887–1932), Hans Eicke (1884–1947) und Otto Trieloff (1885–1967) die Silbermedaille in der Olympischen Staffel; über die 1500-Meter-Distanz belegte er keinen Siegerrang. Braun stellte bis zum Erreichen seiner persönlichen Bestleistungen um 1912 15 deutsche Rekorde in Mittel- und Langstreckendisziplinen auf. 1909, 1910 und 1912 wurde er Deutscher Meister über die 400-Meter-Distanz; am 7. Februar 1909 lief er in Berlin Weltbestzeit über die 1000-Meter-Strecke. Ein letzter Höhepunkt seiner Laufbahn war der Gewinn der Silbermedaille im 400-Meter-Lauf bei den Olympischen Spielen 1912 in Stockholm.

In der Presse wegen seiner Leistungen gefeiert, erfreute sich Braun großer Popularität in der deutschen Öffentlichkeit, die durch seinen Kriegstod gesteigert wurde. Seit 1921 erinnerte der Süddeutsche Leichtathletik-Verband mit der Vergabe des Hanns-Braun-Gedächtnis-Preises an ihn, der seit 1935 vom Reichsfachamt Leichtathletik verliehen wurde; 1951 erneuerte der Deutsche Leichtathletikverband diesen Preis als jährlich vergebene Auszeichnung für besondere Leistungen und außerordentliche Verdienste in Führungspositionen. Von 1930 bis in die 1970er Jahre fand in unregelmäßigen Abständen das Hanns-Braun-Sportfest in München statt.

Sportliche Erfolge