Wirth wurde in Newport (Großbritannien) geboren, wo sein Vater eine Leimfabrik aufbaute, und siedelte 1903 mit seiner Familie nach Weißenstadt (Franken) über. Nach dem Besuch der Volksschule wechselte er 1910 an das Fichtegymnasium in Berlin und 1912 auf das Maximiliansgymnasium in München. Infolge der Scheidung seiner Eltern zog er mit seiner Mutter nach Plauen (Sachsen) und besuchte hier seit 1914 das Realgymnasium. 1916 freiwillig zum Kriegsdienst gemeldet, nahm Wirth 1917 an Kämpfen in Flandern und Nordfrankreich teil, im November 1917 folgten Einsätze an der Ostfront und im Frühjahr 1918 an der Westfront (Maas und Mosel). Wirth absolvierte einen Offiziersaspiranten-Kurs in Libau (Kurland, heute Liepāja, Lettland), wurde zum Vizefeldwebel befördert und nach Lazarettaufenthalten in Bad Kissingen und Plauen aus dem Heer entlassen. Im Februar 1919 erlangte er sein Abitur und studierte Medizin in Würzburg. Im selben Jahr für ein Chemiestudium an die Universität München gewechselt, war er von Mai bis August 1919 als Angehöriger des Freikorps Epp an der Niederschlagung der Münchner Räterepublik, aber nicht aktiv an Kämpfen beteiligt. 1919/20 setzte Wirth sein Chemiestudium in Würzburg fort, das er 1924 mit einer von Otto Dimroth (1872–1940) betreuten Dissertation „Zur Spaltung racemischer Gemische durch Molekülverbindungen mit optisch-aktiven Stoffen“ abschloss (Dr. phil.).

Von Juli bis September 1924 war Wirth Assistent des Würzburger Gynäkologen Carl Joseph Gauß (1875–1957) an der Universitäts-Frauenklinik, wo er zur Narcylen-Narkose arbeitete, und anschließend bis Juli 1927 wissenschaftlicher Mitarbeiter im Laboratorium für Physiologische Zoologie an der Biologischen Reichsanstalt Berlin-Dahlem bei Albrecht Hase (1882–1962). Studien zur Sinnesphysiologie und Insektenbekämpfung dienten der Tarnung geheimer Forschungsaufträge des Heereswaffenamts über chemische Kampfstoffe. Bis September 1935 Assistent am Pharmakologischen Institut der Universität Würzburg bei dem Toxikologen Ferdinand Flury (1877–1947), wurde er hier 1930 mit einer Dissertation über die Wirkung von Gasgemischen (nitrose Gase-Kohlenoxyd) zum Dr. med. promoviert und 1935 mit einer experimentellen Studie zur Behandlung von Blausäure-Vergiftungen für Pharmakologie und Toxikologie habilitiert. Im Rahmen der geheimen Kooperation von Reichswehr und Roter Armee führte Wirth 1925 bis 1932 bei mehreren monatelangen Aufenthalten in der Sowjetunion Kampfstoff-Versuche durch.

Seit 1935 Referent im Heereswaffenamt (Wa Prüf 9), baute Wirth die toxikologische Kampfstoff-Abteilung im Gasschutzlaboratorium Spandau auf. Mit der Ernennung zum Oberstabsarzt im Februar 1938 trat er in die Militärärztliche Akademie (MA) über, wo er deren Gastherapeutische Abteilung zum Institut für Pharmakologie und Wehrtoxikologie ausbaute. Zugleich war er in der Heeressanitätsinspektion als Referats- und später Gruppenleiter für den ärztlichen Gasschutz zuständig, zuletzt im Rang eines Oberstabsarztes. Im Zweiten Weltkrieg untersuchte Wirth tödliche Kampfstoffunfälle und Verdachtsfälle von Kampfstoffeinsätzen in Polen (Jasło und Neidenburg, heute Nidzica) und Frankreich (Avernes), inspizierte Kampfstoff-Labore und Produktionslager im besetzten Ausland (Protektorat Böhmen und Mähren, Polen, Frankreich, Serbien und Weißrussland). Zur Kontaktpflege mit Kampfstoffexperten der Achsenmächte besuchte Wirth Sanitätsoffiziere und Generäle des Servizio Chimico Militare in Italien. Bei Dienstreisen inspizierte er 1943 Feldlaboratorien, Entgiftungstruppen und Beutegut in Bulgarien und Griechenland.

1937 prüfte Wirth in dem von ihm geleiteten Institut für Pharmakologie und Wehrtoxikologie im Tierversuch in niedrig dosierten Humanversuchen an Sanitätsoffizieren und im Selbstversuch die Nervengase Tabun und Sarin auf ihre militärische Eignung und entwickelte mit der I.G. Farben Verfahren zur Großproduktion. Wirth ließ die biochemischen und physiologischen Wirkungsmechanismen der neuen Nervenkampfstoffe seit 1941 in Außenstellen der MA an den Universitäten Marburg, Münster, Leipzig und der Medizinischen Akademie Danzig in Tierversuchen erforschen. Mit diesen Forschungen entwickelte er sich zu einem der wichtigsten Chemiewaffenexperten im „Dritten Reich“.

Über die von dem Arzt Otto Bickenbach (1901–1971) und dem Pharmakologen Hellmut Weese (1897–1954) im Tierversuch erprobten prophylaktischen und therapeutischen Eigenschaften des Schering-Medikaments Urotropin (Hexamethylentetramin) bei durch den chemischen Kampfstoff Phosgen verursachten Lungenverletzungen wurde Wirth 1939 informiert. Die im Pharmakologisch-Toxikologischen Institut der MA von Wirth veranlasste Prüfung bestätigte die Wirkung als Prophylaxe, nicht aber als Therapeutikum. Ende Mai 1943 ging Bickenbach zu Phosgen-Experimenten an Häftlingen im KZ Natzweiler über. 1944 reiste Wirth nach Straßburg, wo er Bickenbachs Assistenten Helmut Rühl (geb. 1918) in der Messung kleinster Phosgenmengen unterrichtete. Ob Wirth wusste, dass sein 1936 entwickeltes Messverfahren verwendet wurde, um die Phosgen-Konzentration bei den tödlichen Gaskammer-Experimenten in Natzweiler zu überwachen, ist nicht aktenkundig.

1944/45 war Wirth in der MA mit toxikologischen und pathohistologischen Untersuchungen beschäftigt, die kampfstoffverseuchtes Wasser wieder trinkbar machen sollten. Im Oktober 1944 wurde ihm eine von Ludwig Werner Haase (1903–1980), Leiter der Reichsanstalt für Wasser- und Luftgüte, entwickelte Apparatur vorgeführt, mit der sich kampfstoffverseuchtes Wasser mit unterchloriger Säure trinkbar machen ließ. Um die von Wirth angezweifelte Wirksamkeit nachzuweisen, verabreichten Haase und der SS-Arzt Helmut Poppendick (1902–1994) 150 Häftlingen zwischen dem 3. und 15. Dezember 1944 mit Senfgas-Derivaten hochdosiert vergiftetes Wasser, das mit unterchloriger Säure dekontaminiert worden war, angeblich ohne gesundheitliche Schäden hervorzurufen. Am 4. Dezember 1944 schlug Wirth bei einer Experten-Gesprächsrunde des Generalbevollmächtigten für das Sanitäts- und Gesundheitswesen SS-Obergruppenführer Karl Brandt (1904–1948) vor, eine dritte Versuchsreihe mit dem Senfgas Stickstoff-Lost vorzunehmen. Nach Kriegsende bestritt Wirth dies in einer eidesstattlichen Erklärung. Obwohl Heinrich Himmler (1900–1945) die dritte Versuchsreihe mit Stickstoff-Lost nicht für erforderlich hielt, führte Haase diese im Januar 1945 im KZ Neuengamme durch, angeblich ohne bei den Häftlingen gesundheitliche Schäden zu verursachen.

Wirth erreichte durch die Vergabe eines kriegswichtigen Forschungsauftrags über Nachweismethoden von Fluor an den Chemiker Robert Havemann (1910–1982) einen Vollstreckungsaufschub von dessen Todesurteil. Der im Dezember 1943 wegen Mitgliedschaft in der antifaschistischen Widerstandsgruppe Europäische Union vom Volksgerichtshof zum Tode verurteilte Havemann verdankte Wirth sein Leben. Beide hatten sich 1936 an der Universität Berlin kennengelernt und in der Gastherapeutischen Abteilung der MA und für das Heereswaffenamt zusammengearbeitet. Havemann war bis zur Befreiung in einem eigens in seiner Zelle eingerichteten Labor tätig.

1945/46 in US-amerikanischer Kriegsgefangenschaft, zeigte sich Wirth bei den Vernehmungen im Verhörzentrum „Dustbin“ in Kransberg (Taunus) und im Nürnberger Gefängnis kooperativ und offenbarte sein Wissen über die deutsche Chemiewaffenforschung. Im Entnazifizierungsverfahren wurde Wirth, der kein NSDAP-Mitglied war, 1947 als Mitläufer, 1949 als entlastet eingestuft. Ende der 1990er Jahre waren gegen Wirth erhobene Vorwürfe, er sei an Menschenversuchen mit chemischen Kampfstoffen an KZ-Häftlingen beteiligt gewesen, Gegenstand einer Reihe von postumen Unterlassungsklagen gegen Rundfunkanstalten und Publizisten. Eine persönliche Verantwortung für KZ-Menschenversuche konnte ihm nicht nachgewiesen werden. Wirths Nachkriegsaussage, er habe über KZ-Menschenversuche mit chemischen Kampfstoffen keine Kenntnisse gehabt, wurde von der historischen Forschung jedoch widerlegt; so war er über die von den SS-Ärzten Hugo-Heinz Schmick (1909–1982) und Walter Sonntag (1907–1948) von Oktober bis Dezember 1939 im KZ Sachsenhausen an 23 bzw. 8 Häftlingen mit Senfgas zugefügte Hautverletzungen durch einen Lagerbesuch informiert und verwies hierauf in einer an 23 Fähnrichen in seinem Institut mit Ludwig Lendle (1899–1969) durchgeführten Senfgas-Studie.

Nach seiner Entlassung aus der Kriegsgefangenschaft im August 1947 war Wirth an der Chirurgischen Universitätsklinik Würzburg tätig. Seit 1948 prüfte er organische Phosphorsäureester auf ihre Eignung als Insektizide und deren toxikologische Wirkung und mögliche pharmakologische Anwendungen bei Grünem Star für die Pharmakologische Abteilung der Farbenfabriken Bayer AG in Wuppertal, deren Leitung er 1954 übernahm. Des Weiteren forschte er bis zu seinem Ausscheiden 1964 zu Schmerz- und Schlafmitteln (Baycain), zur Pharmakologie der Anästhesie und seit Ende der 1950er Jahre zu Psychopharmaka (Promazin, Phenothiazine), Sulfonamiden (Ospolot), Spasmolytica und Hypnotika. Auf dem von Wirth mit überarbeiteten Lehrbuch Hermann Fühners „Medizinische Toxikologie“ (³1951) basiert die 1967 von Wirth mit Gerhard Hecht (1900–1981) und Christian Gloxhuber (1920–2016) veröffentlichte „Toxikologie-Fibel für Ärzte, Apotheker, Naturwissenschaftler, Juristen und Studierende“ (1967, ³1971).