Fraenkel wuchs in einer orthodox-jüdischen Kaufmannsfamilie in München auf, erhielt früh Privatunterricht in Hebräisch, besuchte seit 1897 die Grundschule und seit 1900 das Luitpold Gymnasium in München. Nach dem Abitur 1909 studierte er Mathematik, Physik und Philosophie an den Universitäten in München, Marburg an der Lahn, Berlin und Breslau (Schlesien, heute Wrocław, Polen). Seit seiner Studienzeit war Fraenkel in der zionistischen Bewegung aktiv. 1914 wurde er mit einer Arbeit zur Abstrakten Algebra bei Kurt Hensel (1861–1941) an der Universität Marburg zum Dr. phil. promoviert. Nach Abschluss des Studiums nahm er von 1914 bis 1918 als Sanitätssoldat am Ersten Weltkrieg teil. Während dieser Zeit habilitierte er sich an der Universität Marburg für Reine Mathematik und Versicherungsmathematik (1916).

Seit 1919 lehrte Fraenkel als Privatdozent an der Universität Marburg, seit 1922 als nichtbeamteter außerordentlicher Professor mit einem Lehrauftrag für die gesamte Elementarmathematik in wissenschaftlicher Bedeutung. 1928 auf eine ordentliche Mathematikprofessur an der Universität Kiel berufen, bekleidete er auch das Amt des Direktors des Mathematischen Seminars. 1929 bis 1931 wirkte er – dank einer Beurlaubung in Kiel – als Gastprofessor an der neu gegründeten Hebrew University in Jerusalem. Er wurde zum ordentlichen Professor ernannt und beteiligte sich als Dekan der neu gegründeten Faculty of Humanities, der die Mathematik eingegliedert war, am Aufbau der Universität. Nach Auslaufen der Freistellung kehrte er nach Kiel zurück, wurde aber 1933 auf Basis des „Gesetzes zur Wiederherstellung des Berufsbeamtentums“ zwangsweise beurlaubt.

1933 wanderte Fraenkel mit seiner Familie nach Jerusalem aus. Er nahm zum Wintersemester 1933/34 seine Lehrtätigkeit an der Hebrew University wieder auf und übernahm den Vorsitz der Commission for Secondary Education. Fraenkel war von 1935 bis 1938 Acting Dean der neu gegründeten Faculty of Mathematics and Natural Sciences, neben dem formal nominierten Dekan Chaim Weizmann (1874–1952), dem späteren ersten Präsidenten des Staats Israel. Von 1938 bis 1940 leitete er die Universität als deren Rektor. Seine zionistischen Überzeugungen vertrat er auch als Mitglied des Jewish National Councel und der Jewish Assembly of Representatives im Britischen Mandatsgebiet. Das 1946 erfolgte Angebot, an die Universität Kiel zurückzukehren, lehnte er ab.

Fraenkels Hauptarbeitsgebiete waren die Abstrakte Algebra und die Grundlagen der Mengenlehre. In seiner ersten größeren mathematischen Publikation 1912 legte er eine axiomatische Begründung der p-adischen Zahlen seines Marburger Lehrers Hensel vor. Seine Dissertation und seine Habilitationsschrift sind der algebraischen Ringtheorie gewidmet. Eine Vorlesung über Mengenlehre, die er im Sommersemester 1911 bei Ernst Hellinger (1883–1950) in Marburg an der Lahn gehört hatte, war der Ausgangspunkt für sein Interesse an der Mengenlehre als mathematischer Grundlagentheorie. 1919 veröffentlichte Fraenkel seine „Einleitung in die Mengenlehre“, eine kleine einführende Schrift in diese Disziplin, die er zu einem Standardwerk umarbeitete und erweiterte (31928).

In seinen systematischen Untersuchungen zu den Grundlagen der Mengenlehre ging Fraenkel von der 1908 von Ernst Zermelo (1871–1957) vorgelegten Axiomatisierung der Mengenlehre Georg Cantors (1845–1918) aus, mit der die in der Mengenlehre entdeckten Antinomien vermieden wurden, wenn auch die Widerspruchsfreiheit der Mengenlehre nicht bewiesen werden konnte. Fraenkel schärfte den bei Zermelo unklar gebliebenen Begriff der definiten Eigenschaft. Nahezu zeitgleich und unabhängig von Fraenkel schlug der norwegische Mathematiker, Logiker und Philosoph Thoralf Albert Skolem (1887–1963) Ähnliches vor. Im selben Aufsatz von 1922 bewies Fraenkel die Unabhängigkeit des im Zermeloschen System gesetzten umstrittenen Auswahlaxioms (Axiom of Choice), allerdings unter einer starken Existenzvoraussetzung und nicht mit einem strengen Unmöglichkeitsbeweis, wie er 1927 feststellte. Ohne diese Voraussetzung wurde die Unabhängigkeit des Auswahlaxioms erst 1963 von Paul Joseph Cohen (1934–2007) bewiesen.

Ebenfalls 1922 zeigte Fraenkel, dass die von Zermelo vorgeschlagenen sieben Axiome der Mengenlehre nicht zu deren Begründung ausreichten und empfahl die Hinzunahme eines „Ersetzungsaxioms“. Die Zermelosche Mengenlehre und das Fraenkelsche Ersetzungsaxiom konstituieren das mengentheoretische System ZF für Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre; mit dem Auswahlaxiom ergibt sich ZFC (mit C für Choice). Dieses System gilt als das Standardsystem, in dem der kanonische Bestand der Mathematik beweisbar ist. Zermelo sprach in seinen späteren Arbeiten zu infiniten Mengenhierarchien vom ZF-System (1930). In nachfolgenden Beiträgen erweiterte Fraenkel dieses System durch Kardinalzahl- und Ordinalzahltheorien. Darüber hinaus verfasste er z. T. mit anderen Autoren Standardwerke zur Mengenlehre.

Fraenkels Interesse an der Geschichte der Mathematik fand Ausdruck in zahlreichen Arbeiten, etwa „Zahlbegriff und Algebra bei Gauß“ (1920) und „Jewish Mathematics and Astronomy“ (1960). Er veröffentlichte 1930 eine umfassende Biografie zu Cantor, die in gekürzter Fassung 1932 in die von Zermelo herausgegebenen „Gesammelten Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts“ aufgenommen wurde. Zu Fraenkels Schülern zählen Haim Hanani (1912–1991), Azriel Levy (geb. 1934), Albert Noack (1904–1956) und Abraham Robinson (1918–1974).