Nachdem Albrecht die Volksschule besucht und im elterlichen Lebensmittelladen in Essen-Schonnebeck eine Lehre als Verkäufer absolviert hatte, wurde er 1941 zur Wehrmacht eingezogen und nahm in einer Nachschubeinheit am Afrikafeldzug teil. 1946 kehrte er aus US-amerikanischer Kriegsgefangenschaft zurück und stieg mit seinem Bruder Karl Albrecht (1920–2014) in das seit dem Tod des Vaters 1943 von der Mutter betriebene elterliche Geschäft ein. Nach der Währungsreform 1948 errichteten die Brüder in schneller Abfolge zahlreiche Filialen in Essen und seit 1954 auch im weiteren Ruhrgebiet. 1955 besaß das Unternehmen Karl Albrecht Lebensmittel 100 zumeist kleine Nachbarschaftsläden, das mit 100 qm große Stammgeschäft in Essen-Schonnebeck war 1954 in einen Selbstbedienungsladen umgewandelt worden. In allen Filialen setzten die Albrecht-Brüder von Beginn an auf ein kleines Warenangebot von 200 bis 250 Artikeln mit niedrigen Preisen sowie billigen Lockangeboten wie Butter. Mit dieser Vorgehensweise, die sich aufgrund von Kapitalknappheit entwickelte und die noch keine gezielte Geschäftsstrategie darstellte, gelang es, bis Ende der 1950er Jahre ein Netz von 300 Filialen mit einem Gesamtumsatz von 90 Millionen D-Mark aufzubauen.

Da sich gegen Ende des Jahrzehnts abzeichnete, dass das Unternehmen der Brüder Albrecht wegen der Konkurrenz der sich seit Mitte der 1950er Jahre stark ausbreitenden Supermärkte in Probleme geraten könnte, errichteten Theo und Karl Albrecht Selbstbedienungsläden, zwei Cash-und-Carry-Großmärkte und eine Zentralrösterei in Mülheim-Dümpten. Die SB-Läden mit Frischfleischabteilung und die beiden Großmärkte waren jedoch zu klein dimensioniert und wurden schnell defizitär. Auf Initiative Karl Albrechts wurde 1962 mit dem Aufbau von Discountläden mit Selbstbedienung als neuem Geschäftsmodell begonnen. Diese boten ebenfalls nur ein kleines Warensortiment von bis zu 300 Artikeln zu niedrigen Preisen sowie Eigenmarken mit durchweg guter Qualität an. Aufgrund günstiger Kostenstrukturen, einfachster Ausstattung der Filialen und geringem Personalstand hatten die neuen Discountläden von Beginn an großen Erfolg; bis 1965 wurden die SB-Läden und kleinen Geschäfte vollständig umgewandelt bzw. geschlossen.

Noch vor Einführung des ersten Discountladens 1962 in Dortmund und nach dem Ausscheiden der Mutter aus der Firma trennten die beiden Brüder auf Vorschlag von Karl Albrecht 1961 das gemeinsame Unternehmen, wobei Theo Albrecht das nördliche Filialnetz mit der Geschäftszentrale in Schonnebeck erhielt. Trotz der Selbstständigkeit beider Unternehmen arbeiteten die Brüder in strategischen Fragen und im Einkauf durch die gemeinsame Aldi Einkauf OHG auch nach der Löschung der gegenseitigen Kapitalverflechtungen 1966 weiter eng zusammen, was auch im gemeinsamen Namen Albrecht-Discount zum Ausdruck kam, der erst 1967 in Aldi geändert wurde. Ende der 1960er Jahre besaßen die Brüder zusammen mehr als 600 Filialen in über 300 Städten der Bundesrepublik. 1975 wurde der Gesamtumsatz beider Aldi-Ladenketten auf ca. 4 Milliarden D-Mark geschätzt.

Nach der geschäftlichen Trennung von seinem Bruder errichtete Albrecht eine Kaffeerösterei neben seinem neuen Unternehmenssitz in Herten (Kreis Recklinghausen), die später nach Essen-Kray verlegt wurde. Vor der Hertener Zentrale wurde Albrecht am 29. November 1971 von dem Rechtsanwalt Heinz Joachim Ollenburg (1924–2017) und dem Autoschlosser Paul Kron (1930–2017) entführt. Nach Zahlung einer Lösegeldsumme von 7 Millionen D-Mark kam Albrecht am 16. Dezember 1971 wieder frei und verschloss sich seitdem noch mehr als zuvor jeglicher Öffentlichkeit.

Später als sein Bruder expandierte Albrecht in das Ausland und errichtete Filialnetze in den Niederlanden (1973), Belgien (1976), Dänemark (1977), den USA (1978), Frankreich (1988) sowie in Luxemburg (1991), Spanien (2002), Portugal (2006) und Polen (2008). Zudem baute Aldi Nord seit 1990 ein Filialnetz in den fünf neuen Bundesländern auf.

Diese kapitalintensive Expansion in die neuen Bundesländer führte, neben dem Festhalten am Discount-Prinzip, zu einer im Vergleich zu Aldi Süd später erfolgten Modernisierung der Filialen seit den späten 1980er Jahren. Zwar erweiterte Aldi Nord sein Sortiment früher als das südliche Pendant, geriet aber seit den 1980er Jahren ins Hintertreffen, da im Vergleich mit Aldi Süd deutlich später neue Läden an den Ortsrändern mit ausreichendem Parkraum errichtet wurden.

Genauso früh wie sein Bruder setzte Albrecht seit 1974 auf die Regionalisierung des Konzerns. Durch die konsequente Errichtung von eigenständigen Regionalgesellschaften als GmbHs aus den ehemaligen Zweigniederlassungen konnte er bis in die 2000er Jahre die Offenlegung von Unternehmenszahlen vermeiden, auch weil das Unternehmen weiterhin eine nicht publizitätspflichtige Rechtsform besaß.

Zeitgleich mit dem Beginn der Expansion von Aldi Nord in das Ausland brachte Albrecht im Dezember 1973 sein Unternehmen in die von ihm gegründete Markus-Stiftung im schleswig-holsteinischen Nortorf ein, die 1979 die US-amerikanische Handelskette Trader Joe’s erwarb. Albrecht leitete bis Ende 1993 den als Geschäftsführung fungierenden Verwaltungsrat und bestimmte auch nach seinem Ausscheiden als Vorsitzender der Markus-Stiftung den Kurs des Unternehmens sowie viele operative Details. Der gläubige Katholik starb am 2010 in seinem Haus in Essen-Bredeney als zweitreichster Deutscher nach seinem Bruder Karl.

Das Unternehmen Aldi Nord gehört zu 61 % der Markus-Stiftung und zu je 19,5 % der Lukas-Stiftung und der Jakobus-Stiftung, die ebenfalls von Familienmitgliedern Albrechts kontrolliert werden.