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Paul Bernays (links) mit (v.l.n.r.) Kurt Schütte (1909–1998) und Helmut Gericke (1909–2007), ca. 1976, Quelle: Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, Photo Collection, Fotograf: Konrad Jacobs (1928–2015).

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Bernays zog 1895 mit der Familie nach Berlin, wo er das Köllnische Gymnasium besuchte. Nach dem Abitur 1907 studierte er Mathematik an der TH Charlottenburg, der Universität Berlin und seit 1912 an der Universität Göttingen, wobei er auch Lehrveranstaltungen in Philosophie und Theoretische Physik hörte. 1912 wurde Bernays an der Universität Göttingen bei Edmund Landau (1877–1938) über Zahlentheorie zum Dr. phil. promoviert und ging als Assistent von Ernst Zermelo (1871–1953) an die Universität Zürich, wo er sich im selben Jahr für Mathematik habilitierte. Hier schlug er Albert Einstein (1879–1955), Professor an der ETH, vor, die Variationsrechnung bei der Entwicklung der Allgemeinen Relativitätstheorie zu verwenden.

1917 holte David Hilbert (1862–1943) Bernays zurück nach Göttingen, um mit ihm die Grundlagen der Mathematik auf eine neue Basis zu stellen. In seiner zweiten Habilitationsschrift 1918 behandelte Bernays die Logik der „Principia Mathematica“ von Bertrand Russell (1872–1970) und Alfred North Whitehead (1861–1947). 1922 zum außerordentlichen Professor ernannt, übernahm Bernays die Verantwortung für den Unterricht in Logik für den erkrankten Hilbert.

In den folgenden Jahren entwickelte Bernays einige der wichtigsten Themen der mathematischen Logik, darunter die Prädikatenlogik erster Stufe in ihrer klassischen und in ihrer intuitionistischen Version (1925), die Epsilon-Substitutionsmethode und die elementare Arithmetik, die auf rekursiven Definitionen beruht (1928). Diese Resultate wurden nicht separat, sondern erst in der mit Hilbert herausgegebenen Monografie „Grundlagen der Mathematik“ (2 Bde., 1934/1939) veröffentlicht, die weitgehend von Bernays allein verfasst wurde. Die Publikation der fast fertigen „Grundlagen der Mathematik“ wurde durch das Bekanntwerden der 1931 veröffentlichten Unvollständigkeitssätze von Kurt Gödel (1906–1978) verzögert. Diese Sätze zeigen, dass Hilberts Programm, eine sichere Grundlage für die Mathematik zu schaffen, in der ursprünglich intendierten Form nicht erfüllt werden konnte. Bernays, der Gödels Ergebnisse schnell akzeptierte, unterstützte Hilbert bei der Neuorientierung des Grundlegungsprogramms auf der Basis eines liberaleren Konstruktivismus anstelle der ursprünglich streng finitistischen Position.

Auf der Grundlage von Vorarbeiten John von Neumanns (1903–1957) entwickelte Bernays um 1930 die „von Neumann-Bernays-Gödel“-Mengenlehre, die ab 1937 in einer Artikelserie erschien und 1958 in dem Buch „Axiomatic Set Theory“ zusammengefasst wurde. Viele logische Techniken und Resultate der Hilbert-Schule gehen auf Bernays zurück, wie die axiomatischen Standardsysteme der Logik im „Hilbert-Kalkül“ und die Idee einer funktionalen Hierarchie, mit der das berühmte Kontinuumsproblem angegangen werden kann. Auch die „Grundzüge der theoretischen Logik“ (1928) von Hilbert und Wilhelm Ackermann (1896–1962) beruhen inhaltlich auf Bernays’ Einsichten. Hilberts Logikschüler seit den 1920er Jahren, darunter Haskell Curry (1900–1982), Gerhard Gentzen (1909–1945), Saunders MacLane (1909–2005) und Kurt Schütte (1909–1998), wurden von Bernays betreut. 1933 arbeitete Bernays mit der von den Nationalsozialisten aus Göttingen vertriebenen Ungarin Rózsa Péter (1905–1977) zusammen, die als erste Frau entscheidend zur modernen Entwicklung der Logik beitrug.

Im Frühjahr 1933 wurde Bernays von den Nationalsozialisten die Lehrerlaubnis entzogen. Da die Familie Bernays das Schweizer Bürgerrecht besaß, konnte er nach einem kurzen Aufenthalt bei seiner Mutter und seinen Schwestern in Berlin mit ihnen nach Zürich gehen. Mit Unterstützung von Kollegen wie Georg Polya (1887–1985) und Hermann Weyl (1885–1955) erhielt er bescheidene Lehraufträge an der ETH Zürich. Erst 1945 bekam er eine halbe Stelle als außerordentlicher Professor für höhere Mathematik, die 1952 auf eine volle Stelle erhöht wurde. 1959 wurde er pensioniert. Zu seinen Doktoranden aus der Zürcher Zeit gehören u. a. Corrado Böhm (1923–2017), Richard Büchi (1924–1984) und Erwin Engeler (geb. 1930). In dieser Zeit und auch nach seiner Emeritierung folgte er Einladungen für ausgedehnte Aufenthalte in den USA, u. a. als Gastprofessor an der University of Pennsylvania und Fellow des Institute for Advanced Study in Princeton (New Jersey, USA).

Neben seinen bedeutenden Leistungen auf dem Gebiet der Logik und der mathematischen Grundlagenforschung verfasste Bernays Schriften zur Philosophie. Er war sein ganzes Leben lang ein Vertreter der Neufriesischen Schule, die eine idealistische Philosophie im Sinne von Leonard Nelson (1882–1927) vertrat.